Calculadora de Integral Tripla

Categoria: Cálculo

- 24 de junho de 2025

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Calcule e visualize integrais triplas sobre várias regiões no espaço 3D. Este calculador ajuda a definir os limites de integração, visualizar a região e calcular o resultado.

Configuração da Integral

Sistema de Coordenadas:

Cartesiano (x,y,z)

Cilíndrico (r,θ,z)

Esférico (ρ,θ,φ)

Função Integranda:

Use x, y, z para Cartesiano; r, theta, z para Cilíndrico; rho, theta, phi para Esférico

Limites de Integração (Cartesiano)

até

Região Atual:

Hemisfério superior com raio 1, centrado na origem

Opções

Mostrar solução passo a passo

Mostrar visualização 3D

Calcular resultado numérico

Substituir valores nos passos

Regiões Pré-definidas

Resultado da Integral

∭(x² + y² + z²) dxdydz

Integral Tripla Avaliada

2π/5

Aproximadamente 1.2566

Solução Passo a Passo

Visualização da Região 3D

Transformação do Sistema de Coordenadas

Coordenadas Cartesianas (x, y, z)

x = x

y = y

z = z

Elemento de Volume: dx dy dz

Coordenadas Cilíndricas (r, θ, z)

x = r cos(θ)

y = r sin(θ)

z = z

Elemento de Volume: r dr dθ dz

Coordenadas Esféricas (ρ, θ, φ)

x = ρ sin(φ) cos(θ)

y = ρ sin(φ) sin(θ)

z = ρ cos(φ)

Elemento de Volume: ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

Integrais Triplas Comuns

Volume da Esfera Unitária

∭ dx dy dz = 4π/3

Região: x² + y² + z² ≤ 1

Volume do Cubo Unitário

∭ dx dy dz = 1

Região: 0 ≤ x,y,z ≤ 1

Volume do Cilindro

∭ dx dy dz = πh

Região: x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h

Momento de Inércia (Esfera)

∭ (x² + y² + z²) dx dy dz = 4π/5

Região: x² + y² + z² ≤ 1

Entendendo Integrais Triplas

Uma integral tripla representa a integral de volume de uma função sobre uma região no espaço tridimensional. Ela estende o conceito de integrais simples e duplas para três dimensões.

Definição

A integral tripla de uma função f(x,y,z) sobre uma região V no espaço tridimensional é definida como:

∭_V f(x,y,z) dV

Isso representa a soma dos valores de f ao longo da região V, ponderada pelo elemento de volume dV.

Diferentes Sistemas de Coordenadas

Integrais triplas podem ser avaliadas em diferentes sistemas de coordenadas:

Cartesiano: ∭ f(x,y,z) dx dy dz

Cilíndrico: ∭ f(r,θ,z) r dr dθ dz

Esférico: ∭ f(ρ,θ,φ) ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

A escolha do sistema de coordenadas deve corresponder à simetria do problema para simplificar os cálculos.

Aplicações

Integrais triplas têm muitas aplicações práticas, incluindo:

Calcular volumes de formas 3D complexas
Encontrar o centro de massa de um objeto sólido
Calcular momentos de inércia na física
Determinar o potencial elétrico ou gravitacional total em uma região
Resolver problemas em dinâmica de fluidos e eletromagnetismo

Isenção de responsabilidade: Este calculador fornece aproximações para fins educacionais. Para aplicações críticas que exigem alta precisão, verifique os resultados com software matemático especializado ou consulte um matemático profissional.

O que é uma Calculadora de Integral Tripla?

A Calculadora de Integral Tripla é uma ferramenta online fácil de usar que ajuda você a avaliar e entender integrais triplas — um método de calcular o volume sob uma superfície em um espaço tridimensional. Se você está trabalhando com coordenadas Cartesianas, Cilíndricas ou Esféricas, esta calculadora permite que você defina a função integranda, insira os limites de integração e receba soluções simbólicas e numéricas, completas com orientação passo a passo opcional e visualizações em 3D.

∭_V f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(x, y, z) dz dy dx

Por que usar esta ferramenta?

Esta calculadora é útil para estudantes, educadores e profissionais que precisam de:

Encontrar o volume de uma região no espaço 3D
Calcular integrais em diferentes sistemas de coordenadas
Entender como os limites de integração se relacionam com formas geométricas
Obter uma explicação passo a passo do processo de integração
Visualizar regiões em 3D para construir intuição para cálculo multivariável

Como usar a calculadora

Selecione um sistema de coordenadas: Escolha entre Cartesianas (x, y, z), Cilíndricas (r, θ, z) ou Esféricas (ρ, θ, φ) com base na forma da região.
Insira a função integranda: Por exemplo, x^2 + y^2 + z^2 em coordenadas Cartesianas.
Especifique os limites de integração: Insira os limites inferior e superior para cada variável. Você também pode usar formas predefinidas, como a esfera unitária ou cilindro.
Escolha opções: Ative ou desative a exibição de soluções passo a passo, resultados numéricos ou visualizações.
Clique em "Calcular Integral": Veja o resultado, veja uma explicação de cada passo da integração e interaja com a visualização em 3D, se ativada.

Principais características

Suporta coordenadas Cartesianas, Cilíndricas e Esféricas
Fornece resultados simbólicos e numéricos
Inclui regiões predefinidas para formas comuns
Visualiza regiões em 3D com rotação e zoom
Descreve cada passo da integração para aprendizado

Útil para aprender tópicos relacionados

As integrais triplas frequentemente aparecem ao lado de outros tópicos de cálculo multivariável. Esta calculadora complementa ferramentas como:

Calculadora de Derivada Parcial: Explore como as funções mudam ao longo de variáveis específicas usando derivadas parciais ou um solucionador de derivadas multivariáveis.
Calculadora de Antiderivada: Calcule integrais indefinidas e resolva problemas de integração passo a passo.
Calculadora de Integral: Resolva integrais definidas ou indefinidas de uma variável para prática fundamental.
Calculadora de Derivada Direcional: Entenda gradientes e como uma função muda em direções específicas.
Calculadora de Plano Tangente: Encontre planos que melhor aproximam uma superfície em um ponto usando análise diferencial.

Perguntas Frequentes (FAQ)

Para que serve uma integral tripla?

Uma integral tripla é comumente usada para calcular volumes, massa e outras quantidades sobre uma região tridimensional. É um conceito chave em física, engenharia e cálculo multivariável.

Qual sistema de coordenadas devo escolher?

Use aquele que corresponde à simetria da sua região:

Cartesiano – para cubos, caixas e sólidos retangulares
Cilíndrico – para cilindros e formas circulares
Esférico – para esferas, hemisférias e simetria radial

Esta calculadora pode mostrar os passos?

Sim. Você pode ativar a opção “Mostrar solução passo a passo” para ver a integral resolvida em etapas, o que é ideal para aprender e verificar seu trabalho.

E se eu quiser apenas um resultado numérico?

Ative “Calcular resultado numérico” para obter um valor decimal aproximado. Isso é útil quando a integração simbólica é muito complexa.

Isso é adequado para uso em sala de aula?

Absolutamente. Esta calculadora é ideal para estudantes e educadores praticarem problemas, verificarem lições de casa ou usarem durante sessões de estudo.

Como esta calculadora ajuda

Seja você tentando calcular volumes, analisar sistemas físicos ou aprofundar sua compreensão do cálculo, a Calculadora de Integral Tripla fornece insights claros e acionáveis. É uma ferramenta prática para cálculo multivariável que funciona perfeitamente com outros conceitos, como derivadas parciais, técnicas de integração e análise vetorial.