Calculadora de Divergência

Calculadora de Divergência: Explicação e Guia de Uso

A Calculadora de Divergência é uma ferramenta interativa projetada para calcular a divergência de um campo vetorial tridimensional. Ela oferece uma maneira intuitiva de calcular e visualizar a divergência de um campo vetorial ( \mathbf{F}(x, y, z) ), oferecendo tanto a representação simbólica da divergência quanto sua avaliação em pontos específicos. Além disso, a ferramenta gera uma visualização gráfica do campo vetorial para ajudar os usuários a obter insights mais profundos sobre seu comportamento.

O que é Divergência?

A divergência é uma quantidade escalar que mede a taxa na qual um campo vetorial se espalha ou converge em um determinado ponto. Matematicamente, a divergência de um campo vetorial ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) é dada por:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

• Se a divergência é positiva, o campo vetorial está se espalhando naquele ponto.
• Se a divergência é negativa, o campo vetorial está convergindo naquele ponto.
• Se a divergência é zero, o campo é considerado solenoidal naquele ponto.

Esta calculadora fornece tanto a divergência simbólica quanto uma opção para avaliá-la numericamente em pontos específicos.

Recursos da Calculadora de Divergência

• Divergência Simbólica: Calcula automaticamente as derivadas parciais dos componentes do campo vetorial e constrói a equação da divergência.
• Avaliação em Ponto: Avalia a divergência numericamente em um ponto específico ( (x, y, z) ).
• Visualização Gráfica: Exibe uma representação 3D do campo vetorial usando as capacidades de plotagem 3D interativas do Plotly.
• Exemplos em Dropdown: Carrega rapidamente exemplos predefinidos de campos vetoriais para exploração.
• Tratamento de Erros: Garante que entradas inválidas ou incompletas sejam tratadas de forma adequada.

Como Usar a Calculadora de Divergência

Siga estes passos simples para usar a calculadora de forma eficaz:

1. Insira o Campo Vetorial:
2. Digite os componentes ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ) e ( R(x, y, z) ) do campo vetorial nas respectivas caixas de entrada.

3. Por exemplo:

   • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
   • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
   • ( R(x, y, z) = e^z )

4. Selecione um Exemplo:

5. Use o menu dropdown para carregar exemplos predefinidos de campos vetoriais.

6. Especifique um Ponto de Avaliação (Opcional):

7. Se você quiser avaliar a divergência em um ponto específico, insira os valores de ( x ), ( y ) e ( z ) nos campos correspondentes.

8. Clique em "Calcular":

9. A calculadora irá:

   • Calcular a divergência simbólica.
   • Avaliar a divergência no ponto especificado (se fornecido).
   • Exibir uma análise passo a passo do cálculo.
   • Gerar uma visualização 3D do campo vetorial.

10. Limpar as Entradas:

11. Use o botão "Limpar" para redefinir a calculadora.

Exemplo de Demonstração

Exemplo de Campo Vetorial:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

1. Insira os componentes:
2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

4. ( R(x, y, z) = e^z )

5. Clique em "Calcular." A calculadora irá:

6. Calcular as derivadas parciais:
   • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
   • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
   • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
7. Combiná-las para encontrar: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

8. Se os pontos de avaliação ( (x=1, y=1, z=0) ) forem fornecidos, o resultado será avaliado como: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

9. Visualize o campo vetorial 3D gerado no gráfico.

FAQ

1. Quais formatos de entrada são suportados para os componentes do campo vetorial?

A calculadora suporta funções em termos de ( x ), ( y ) e ( z ). Exemplos incluem: - Funções polinomiais: ( x^2, y^2 + z ) - Funções trigonométricas: ( \sin(xy), \cos(z) ) - Funções exponenciais: ( e^z, x \cdot e^y )

2. O que acontece se eu não fornecer um ponto de avaliação?

Se nenhum ponto de avaliação for especificado, a calculadora exibirá apenas a equação da divergência simbólica.

3. Posso usar esta calculadora para campos vetoriais 2D?

Sim, basta deixar o componente ( R(x, y, z) ) vazio ou defini-lo como zero.

4. Como a visualização do campo vetorial 3D é gerada?

A calculadora usa o Plotly para criar um gráfico interativo do campo vetorial 3D. Cada seta representa a direção e a magnitude do campo em um determinado ponto.

5. E se minha entrada tiver um erro?

A calculadora verifica erros, como componentes ausentes ou expressões inválidas. Uma mensagem de erro descritiva irá guiá-lo para corrigir o problema.

Resumo

A Calculadora de Divergência simplifica o processo de análise de campos vetoriais ao automatizar o cálculo da divergência e fornecer uma representação visual clara. Seja você um estudante, professor ou profissional, esta ferramenta é perfeita para obter insights sobre o comportamento de campos vetoriais em espaço 3D. Comece a explorar agora para desbloquear todo o potencial desta poderosa calculadora!