Calculadora de Derivada Direcional

O Que É uma Derivada Direcional?

A derivada direcional mede como uma função muda à medida que você se move em uma direção específica a partir de um ponto dado. Ela estende o conceito de derivadas parciais ao considerar uma direção vetorial em vez de se concentrar apenas em variáveis individuais como x ou y.

• Em termos simples, ela calcula a taxa de mudança de uma função f(x, y, z) em um ponto específico em uma direção específica.
• É denotada matematicamente como:

D_v f = ∇f ⋅ v̂

Aqui: - ∇f é o vetor gradiente da função, que contém derivadas parciais em relação a todas as variáveis. - v̂ é o vetor de direção normalizado (de comprimento unitário).

• O resultado da derivada direcional é um único número que nos diz se a função está aumentando, diminuindo ou constante na direção dada.

Principais Características da Calculadora de Derivadas Direcionais

• Entrada Dinâmica: Insira qualquer função multivariável, um ponto de avaliação e um vetor de direção.
• Explicação Passo a Passo: A calculadora fornece etapas detalhadas, mostrando como o gradiente e a derivada direcional são calculados.
• Visualização Gráfica: Um gráfico exibe o comportamento da função ao longo do vetor de direção.
• Exemplos Integrados: Teste rapidamente a ferramenta com exemplos fornecidos para funções comuns.

Como Usar a Calculadora de Derivadas Direcionais

Campos de Entrada:

1. Insira uma Função: Especifique uma função multivariável como x^2 + y^2 + z^2 ou sin(x) * cos(y).
2. Ponto de Avaliação: Forneça o ponto onde a derivada será avaliada (por exemplo, 1,1,1).
3. Vetor de Direção: Insira o vetor no qual calcular a derivada (por exemplo, 1,2,3).

Dropdown de Exemplos:

• Selecione um exemplo pré-definido para preencher automaticamente os campos:
• f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 em (1, 1, 1) na direção v = (1, 1, 1).
• f(x, y) = sin(x) * cos(y) em (0, 0) na direção v = (1, 1).
• f(x, y) = e^(x + y) em (1, 2) na direção v = (0, 1).

Botões:

• Calcular: Realiza o cálculo e exibe resultados, etapas e um gráfico.
• Limpar: Redefine todos os campos de entrada e saídas.

Exemplo de Demonstração: f(x, y) = sin(x) * cos(y)

Entrada:

• Função: sin(x) * cos(y)
• Ponto: (0, 0)
• Vetor de Direção: (1, 1)

Cálculo:

1. Calcule o vetor gradiente:
2. ∂f/∂x = cos(x) * cos(y)

3. ∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)

4. Avalie em (0, 0):

5. ∂f/∂x(0, 0) = 1

6. ∂f/∂y(0, 0) = 0

7. Normalize o vetor de direção (1, 1):

8. Vetor unitário: v̂ = (1/√2, 1/√2)

9. Calcule a derivada direcional: D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2

Resultado:

• Derivada direcional: 1/√2

Visualização:

• O gráfico mostra o comportamento da função ao longo do vetor de direção a partir do ponto dado.

Benefícios de Usar a Calculadora

• Eficiência: Automatiza a diferenciação e avaliações manuais tediosas.
• Clareza: Explica o processo passo a passo, ideal para aprendizado ou verificação.
• Versatilidade: Lida com funções com duas ou três variáveis e calcula derivadas em qualquer direção.

Quando Usar uma Calculadora de Derivadas Direcionais

• Matemática e Física: Analisar gradientes e taxas de mudança em funções multivariáveis.
• Aprendizado de Máquina e IA: Avaliar o comportamento da função de custo ao longo das direções do gradiente.
• Engenharia e Otimização: Avaliar mudanças em funções sujeitas a restrições ou direções específicas.

Saída Gráfica

• Um gráfico é gerado para mostrar o comportamento da função ao longo do vetor de direção.
• O eixo x representa t, a distância ao longo do vetor de direção.
• O eixo y representa f(t), o valor da função ao longo dessa distância.