Calculadora de Séries de Taylor

Categoria: Cálculo

- 14 de maio de 2025

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Calcule e visualize expansões de séries de Taylor de funções matemáticas. Uma série de Taylor aproxima uma função usando uma soma de termos derivados das derivadas da função em um ponto específico.

Função de Entrada

Função f(x):

Ponto de Expansão (a):

Número de Termos:

Faixa de Visualização (Mín):

Faixa de Visualização (Máx):

Opções de Exibição

Casas Decimais:

Mostrar função exata

Mostrar erro de aproximação

Mostrar etapas de cálculo

Expansão da Série de Taylor

Série de Taylor

f(x) =

centralizada em a = 0

Função Original

f(x) =

Termo de Resto

Rₙ(x) =

Representação Visual

Desagregação Termo a Termo

n	f⁽ⁿ⁾(a)	Termo	Soma Cumulativa

Método de Cálculo

Fórmula da Série de Taylor

A série de Taylor de uma função f(x) centrada em x = a é:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n! + ...

Ou usando notação de somatório:

f(x) = ∑_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!

Quando a = 0, isso também é chamado de série de Maclaurin.

Sobre Séries de Taylor

Uma série de Taylor é uma representação de uma função como uma soma infinita de termos que são calculados a partir dos valores das derivadas da função em um único ponto.

Conceitos Chave

Ponto de Expansão: O ponto 'a' em torno do qual a série é centrada
Ordem de Aproximação: O número de termos usados na série
Convergência: Quão bem a série aproxima a função à medida que mais termos são adicionados
Raio de Convergência: A faixa de valores de x para os quais a série converge

Séries de Taylor Comuns

e^x: 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... (em a = 0)
sin(x): x - x³/3! + x⁵/5! - ... (em a = 0)
cos(x): 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... (em a = 0)
ln(1+x): x - x²/2 + x³/3 - ... (em a = 0, para |x| < 1)

Aplicações

Aproximação de Funções: Calculando valores de funções complexas
Análise Numérica: Resolvendo equações diferenciais
Física: Aproximando soluções para problemas físicos
Ciência da Computação: Algoritmos para avaliação de funções
Engenharia: Processamento de sinais e sistemas de controle

O que é uma Série de Taylor?

Uma Série de Taylor é uma representação de uma função como uma soma infinita de termos que são calculados a partir dos valores das derivadas da função em um único ponto. Ela nos permite aproximar funções complexas usando polinômios, que podem ser mais fáceis de calcular e analisar.

A fórmula geral para a Série de Taylor de uma função \( f(x) \) em torno de um ponto \( a \) é:

\[ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \dots \]

Essa série é particularmente útil em cálculo e análise matemática para aproximar funções, resolver equações diferenciais e modelar sistemas do mundo real.

Características da Calculadora de Série de Taylor

Permite a entrada de qualquer função matemática \( f(x) \) para expansão.
Inclui um menu suspenso com exemplos para preencher automaticamente os valores da função, centro e ordem.
Calcula a Série de Taylor até uma ordem especificada \( n \) em torno de um ponto central dado \( a \).
Exibe a expansão de Taylor e explicações passo a passo usando MathJax para clareza.

Como Usar a Calculadora de Série de Taylor

Insira a função \( f(x) \) no campo de entrada. Exemplos incluem \( \sin(x) \), \( e^x \) ou \( \ln(x+1) \).
Escolha um ponto central \( a \), que é o ponto em torno do qual a Série de Taylor será expandida.
Especifique a ordem \( n \), que determina o grau da aproximação polinomial.
Clique no botão "Calcular" para computar a Série de Taylor.
Veja os resultados, incluindo a expansão da série e os passos de cálculo detalhados.
Se necessário, selecione um exemplo no menu suspenso para preencher automaticamente os campos.
Clique no botão "Limpar" para redefinir todos os campos e iniciar um novo cálculo.

Exemplo de Uso

Entrada de Exemplo:

Função: \( \sin(x) \)
Centro: \( a = 0 \)
Ordem: \( n = 5 \)

Saída de Exemplo:

A expansão da Série de Taylor de \( \sin(x) \) em torno de \( a = 0 \) até \( n = 5 \):

\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \]

Perguntas Frequentes

Qual é a diferença entre uma Série de Taylor e uma Série de Maclaurin?
Uma Série de Taylor é centrada em qualquer ponto \( a \), enquanto uma Série de Maclaurin é um caso especial da Série de Taylor centrada em \( a = 0 \).
Esta calculadora pode lidar com derivadas de ordem superior?
Sim, a calculadora usa a biblioteca matemática para calcular derivadas de qualquer ordem para a expansão de Taylor.
O que acontece se eu inserir uma função inválida?
Se a função for inválida, a calculadora mostrará uma mensagem de erro. Certifique-se de que sua entrada siga a sintaxe matemática padrão.
Quão precisa é a aproximação da Série de Taylor?
A precisão depende da ordem \( n \). Valores mais altos de \( n \) fornecem aproximações mais precisas, especialmente perto do ponto central \( a \).
Quais são algumas aplicações comuns das Séries de Taylor?
As Séries de Taylor são usadas em cálculo para aproximar funções, resolver equações diferenciais e realizar análise numérica.

Benefícios de Usar a Calculadora de Série de Taylor

Simplifica cálculos matemáticos complexos automatizando o processo de expansão.
Fornece explicações claras e passo a passo para fins educacionais.
Ajuda os usuários a entender como as Séries de Taylor funcionam e suas aplicações no cálculo.
Permite que os usuários testem e visualizem conceitos matemáticos de forma interativa.