Calculadora SVD

Categoria: Álgebra Linear
- 23 de maio de 2025
| |

Calcule a Decomposição em Valores Singulares (SVD) de uma matriz. A SVD decompõe uma matriz em três componentes: U, Σ e V*. Essa decomposição tem inúmeras aplicações em estatísticas, processamento de sinais, compressão de imagens e mais.

Entrada da Matriz

Opções de Exibição

Sobre a Decomposição em Valores Singulares

A Decomposição em Valores Singulares (SVD) é uma técnica de fatoração que decompõe uma matriz A em três matrizes: U, Σ e V*. Tem amplas aplicações em ciência de dados, processamento de sinais e álgebra linear.

Definição Matemática

Para uma matriz A de m×n, a SVD é:

A = UΣV*

onde:

  • U é uma matriz ortogonal de m×m (U*U = I)
  • Σ é uma matriz diagonal de m×n com valores singulares não negativos
  • V* é a transposta conjugada de uma matriz ortogonal de n×n V (V*V = I)
Aplicações da SVD
  • Redução de Dimensionalidade: Análise de Componentes Principais (PCA)
  • Compressão de Imagens: Reduzindo armazenamento enquanto mantém a qualidade da imagem
  • Análise de Dados: Redução de ruído e extração de características
  • Sistemas de Recomendação: Filtragem colaborativa para recomendações
  • Cálculo da Pseudo-Inversa: Encontrando soluções para sistemas mal condicionados
  • Processamento de Sinais: Filtragem e remoção de ruído
Propriedades da SVD
  • Os valores singulares são únicos e dispostos em ordem decrescente
  • O número de valores singulares não nulos é igual ao posto da matriz
  • O número de condição é a razão entre o maior e o menor valor singular
  • A SVD pode ser usada para calcular a pseudo-inversa via A⁺ = VΣ⁺U*
  • A SVD é numericamente estável para computação

Fórmula da Decomposição em Valores Singulares:

A = UΣV*

Onde:

  • U = matriz de vetores singulares à esquerda
  • Σ = matriz diagonal de valores singulares
  • V* = transposta da matriz de vetores singulares à direita

O que é a Calculadora SVD?

A Calculadora de Decomposição em Valores Singulares (SVD) é uma ferramenta baseada na web que decompõe qualquer matriz em três componentes fundamentais: U, Σ (Sigma) e V*. Esse processo é amplamente utilizado em álgebra linear para aplicações como compressão de dados, filtragem de sinais e resolução de sistemas de equações.

Com a Calculadora SVD, você pode analisar rapidamente a estrutura de uma matriz, entender suas propriedades dimensionais e calcular valores-chave como o número de condição, posto e pseudoinversa.

Por que usar esta calculadora?

Esta ferramenta ajuda você a:

  • Decompor uma matriz em U, Σ e V* para uma análise mais profunda
  • Entender o comportamento da sua matriz através de seus valores singulares
  • Explorar propriedades como o posto da matriz, número de condição e norma de Frobenius
  • Verificar a precisão da decomposição
  • Calcular a pseudoinversa de Moore-Penrose instantaneamente

Se você está trabalhando com dados de imagem, estatísticas ou resolvendo sistemas lineares, esta calculadora fornece a decomposição que você precisa. Ela complementa outras ferramentas como a Calculadora de Decomposição LU, Calculadora de Pseudoinversa e Calculadora de Inversa de Matriz ao focar especificamente na análise de valores singulares.

Como usar a Calculadora SVD

Siga estes passos simples:

  1. Selecione o número de linhas e colunas para sua matriz.
  2. Clique em “Criar Matriz” para gerar campos de entrada.
  3. Insira os valores da sua matriz nos campos.
  4. Escolha opções de exibição, como precisão decimal e se deseja mostrar explicações passo a passo.
  5. Clique em “Calcular SVD” para processar a matriz.
  6. Revise as matrizes resultantes U, Σ e V*, bem como os valores derivados como a pseudoinversa e o número de condição.

Você também pode carregar uma matriz de exemplo usando o botão “Carregar Exemplo” para ver como funciona instantaneamente.

Benefícios de usar SVD

A SVD é utilizada em muitos campos e tem benefícios práticos:

  • Compressão de Dados: Reduzir o tamanho dos dados sem perder características essenciais
  • Redução de Ruído: Eliminar componentes menores em sinais ou conjuntos de dados
  • Aprendizado de Máquina: Melhorar o desempenho de algoritmos por meio da redução de dimensionalidade
  • Soluções de Matrizes: Calcular a pseudoinversa quando uma inversa normal não existe
  • Processamento de Imagens: Comprimir e reconstruir imagens de forma eficiente

Esta ferramenta é especialmente útil quando combinada com ferramentas de matriz, como a Calculadora de Fatoração QR, Calculadora de Eliminação de Gauss-Jordan e Calculadora de Diagonalização de Matriz.

Perguntas Frequentes (FAQ)

  • Qual o tamanho da matriz que posso inserir?
    Você pode inserir matrizes de 1×1 até 10×10.
  • E se minha matriz tiver valores muito pequenos?
    A calculadora destaca valores próximos de zero para ajudar você a se concentrar em resultados significativos.
  • Posso ver como a SVD é calculada?
    Sim! Ative a opção “Mostrar explicação” para visualizar uma decomposição passo a passo.
  • Esta ferramenta é útil para aprendizado?
    Definitivamente. A decomposição visual e os passos de cálculo a tornam uma ótima ferramenta de aprendizado para estudantes e educadores.
  • Como isso é diferente de outras ferramentas de matriz?
    Enquanto a Calculadora de Inversa de Matriz e a fatoração LU de matriz se concentram em soluções diretas para sistemas lineares, a SVD oferece mais insights sobre a estrutura e a estabilidade da matriz.

Ferramentas Relacionadas que Você Pode Considerar Úteis