Calculadora de Decomposição QR

- 25 de abril de 2025
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Calcule a decomposição QR de uma matriz, onde A = QR com Q sendo uma matriz ortogonal e R sendo uma matriz triangular superior.

Este calculador usa o processo de Gram-Schmidt para encontrar a fatoração QR de qualquer matriz com colunas linearmente independentes.

Entrada da Matriz

Entendendo a Decomposição QR

A decomposição QR é um método fundamental de fatoração de matrizes na álgebra linear que decompõe uma matriz em uma matriz ortogonal Q e uma matriz triangular superior R.

Processo de Gram-Schmidt

A decomposição QR é comumente calculada usando o processo de Gram-Schmidt, que segue estes passos:

  1. Comece com uma matriz A com colunas a1, a2, ..., an
  2. Calcule uma base ortogonal u1, u2, ..., un a partir das colunas de A
  3. Normalize esses vetores para criar vetores ortonormais q1, q2, ..., qn
  4. A matriz Q consiste nessas colunas ortonormais: Q = [q1 q2 ... qn]
  5. A matriz R contém as projeções das colunas originais na base ortonormal
Definição Matemática

Para uma matriz A de m×n com colunas linearmente independentes:

  • Q é uma matriz de m×n com colunas ortonormais
  • R é uma matriz triangular superior de n×n com elementos diagonais positivos
  • A = QR

A ortogonalidade de Q significa que QTQ = I (matriz identidade).

Propriedades Chave
  • Se A tem colunas linearmente independentes, sua decomposição QR é única
  • Para uma matriz quadrada A com posto completo, Q é ortogonal (QT = Q-1)
  • A decomposição QR é numericamente estável em comparação com algumas outras fatorações de matrizes
  • Calcular a decomposição QR é geralmente mais eficiente do que calcular a inversa de uma matriz
Fórmula da Decomposição QR:
A = Q × R
Onde:
- A é a matriz original
- Q é uma matriz ortogonal (QTQ = I)
- R é uma matriz triangular superior

O que é a Calculadora de Decomposição QR?

A Calculadora de Decomposição QR ajuda você a decompor uma matriz em dois componentes específicos: uma matriz ortogonal (Q) e uma matriz triangular superior (R). Esse processo é útil em muitas áreas da álgebra linear, especialmente ao resolver sistemas de equações ou realizar análises de regressão.

Esta ferramenta utiliza o processo de Gram-Schmidt para realizar o cálculo. É precisa, rápida e faz todo o trabalho pesado por você, até exibindo explicações opcionais passo a passo. Se você está estudando ou trabalhando com dados reais, esta calculadora oferece um caminho claro para a fatoração de matrizes QR.

Por que usar a Decomposição QR?

A decomposição QR é uma técnica de fatoração de matrizes amplamente utilizada em análise numérica e álgebra linear. É particularmente útil para:

Como usar a calculadora

Usar a Calculadora de Decomposição QR é simples:

  1. Insira o número de linhas e colunas para sua matriz.
  2. Clique em “Criar Matriz” para gerar campos de entrada.
  3. Preencha os valores da sua matriz manualmente ou use as opções “Matriz Aleatória” ou “Matriz Identidade”.
  4. Escolha suas preferências de exibição, como precisão decimal ou exibição de frações.
  5. Clique em “Calcular Decomposição QR” para obter os resultados.

A calculadora mostrará:

  • A matriz original (A)
  • A matriz ortogonal (Q)
  • A matriz triangular superior (R)
  • Verificação de que A = QR
  • Confirmação de que Q é ortogonal (QTQ = I)
  • Divisão opcional passo a passo do processo

Onde mais é usado o QR?

Esta calculadora faz parte de um conjunto mais amplo de ferramentas de matriz frequentemente usadas em conjunto em estudos e aplicações de álgebra linear:

  • Calculadora de Decomposição LU: Decompor uma matriz em matrizes triangulares inferiores e superiores.
  • Calculadora de Inversa de Matriz: Encontrar a inversa de uma matriz quadrada.
  • Calculadora de Eliminação de Gauss-Jordan: Resolver sistemas lineares usando redução de linhas.
  • Calculadora de Diagonalização de Matriz: Transformar matrizes usando autovalores para simplificação.
  • Calculadora de Pseudoinversa: Lidar com matrizes não quadradas ou singulares usando o método de Moore-Penrose.

Perguntas Frequentes

Para que é usada a Decomposição QR?

Ela simplifica equações de matrizes e é essencial para resolver sistemas de equações lineares, realizar ajuste de dados e em cálculos de autovalores.

Que tipo de matrizes podem ser decompostas?

Qualquer matriz com colunas linearmente independentes pode ser decomposta usando esta ferramenta. O número de linhas deve ser maior ou igual ao número de colunas.

O processo é preciso?

Sim. A calculadora verifica tanto o resultado A = QR quanto a ortogonalidade de Q usando multiplicação de matrizes, garantindo precisão numérica.

Preciso entender a matemática por trás disso?

Não. A ferramenta fornece tanto os resultados quanto uma explicação passo a passo opcional se você quiser aprender mais.

Posso ver os passos intermediários?

Sim, basta marcar a caixa rotulada “Mostrar passos de cálculo” antes de calcular. Isso é ótimo para aprender ou verificar seu próprio trabalho.

Conclusão

A Calculadora de Decomposição QR é uma maneira útil e amigável de analisar e decompor matrizes para aplicações matemáticas, acadêmicas ou práticas. Se você está explorando métodos de decomposição de matrizes ou precisa de uma ferramenta rápida de fatoração QR, esta calculadora oferece resultados confiáveis com mínimo esforço.

Ela complementa outras poderosas ferramentas de matriz, como a ferramenta de fatoração de matriz LU, ferramenta de inversa de matriz, solucionador de matriz pseudoinversa e ferramentas de diagonalização de matriz — oferecendo um conjunto completo de recursos para trabalhar com sistemas lineares e operações avançadas de matrizes.